Siguiendo la idea epsilóntica de dividir lo continuo en infinitos trozos infinitamente pequeños se pensó en calcular un área de borde curvo sumando infinitos rectángulos. Una idea que supera la fantasía cuando se le puede dar forma y convertir en cálculos que funcionan. Es la integral definida o integral de Georg Friedrich Bernhard Riemann. Foto land art de Gerry Barry.
Imagen que se integra en la edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas en titoeliatrondixit.
Pedalear resolviendo integrales, un método definitivo para estar en forma de cuerpo y mente.
Una palabra bien integrada en el lenguaje. Del latín integratĭo, se refiere a completar un todo y en análisis matemático a la integración de infinitos rectángulos bajo una curva.
Sobre un cuadro de Rene Magritte.
Una casa integral, con los rectángulos entre dos curvas, bien integrada en la naturaleza. Encargada por el matemático y violinista, James Drewry Stewart en Toronto, integra una sala de conciertos para 200 personas.
En junio de 1696 Johann Bernoulli desafió a los matemáticos de Europa a resolver, junto a otro, el problema de la braquistocrona, la curva para llegar con el menor tiempo posible de un punto a otro que no está en su vertical.
El 29 de enero 1697 Newton se topó con los problemas, encontró las soluciones en 12 horas y las envió a la Sociedad Real para publicarlo de manera anónima.
Al ver la solución el pequeño de los hermanos Bernoulli exclamó tanquam ex ungue leonem, reconocemos el león por sus garras. Newton era el rey.
Eran los comienzos del Cálculo Infinitesimal. La curva es la cicloide y además de Newton y el propio Bernouilli encontraron también la solución Leibnitz y el Marqués de l’Hôpital, el de los límites con derivadas.
Esta entrada participa en la edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas alojado en Scientia.
Superficies hiperbólicas, parabólicas y elípticas, las superficies de Riemann son superficies diferenciables con un atlas holomorfo. Matemáticas de 1850 que nos hacen ver que para avanzar en matemáticas hay que estudiar matemáticas. Buscando a Bernhard Riemann encontraremos variedades, integral, lema, superficies y geometría que llevan su nombre. Y su hipótesis sobre la búsqueda de ceros. Foto de Greg Mote, del Canyon Wave de Arizona.
El problema de hallar áreas de formas poligonales se resolvió muy pronto, pero cuando los bordes son curvas la cosa se atascó durante siglos. Hasta que se convirtió en un bonito problema de cálculo integral. Gracias a Newton y Leibnitz. Foto de Silena Lambertini, que merece la pena ver en grande.
Cuando algo da una vuelta se produce una revolución. Y cuando una figura plana gira y gira tenemos un cuerpo de revolución, cuyo volumen puede calcularse de manera integral. Foto Rui Castro.
¿Cual es área de la sección entre una esfera y un cilindro? Un bonito problema de cálculo integral muy difícil de visualizar hace unos años, pero muy fácil de ver con los recursos informáticos actuales. Foto de un anuncio de Nike.
Estudiar una manzana con pimientos, porque éstos se conocen mejor, pero sin olvidar que es una manzana. Algo asi es un cambio de variable, muy útil en funciones, ecuaciones o integrales. Foto Ahmad Abusaad.
Esta entrada participa en la edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas en el blog Eulerianos.
