Por cada recta del plano hay infinitas rectas paralelas, todas con la misma dirección. Así que podríamos dividir el plano en infinitas direcciones con infinitas rectas cada una. Cosa que se puede hacer también en el espacio 3D. Foto de viñedos por Frank Dietrich.
¿Quien iba a imaginar que podía haber otros tipos de paralelas? Durante siglos sólo se concebía la geometría euclídea, pero el tesón de los matemáticos¹ por encontrar explicaciones convincentes llevó a superar el 5º postulado de los Elementos y abrir nuevos mundos. Euclides fue superado, pero sigue siendo válido y es bien honrado, muchas mates llevan su nombre. Foto Eckhart Pedersen.
¹En matemáticas no importa estar siglos sin solución, se puede decir no lo sabemos, es mejor pensar con libertad que aceptar falsedades.
Si una recta es perpendicular a otra, es perpendicular a todas sus paralelas. Y viceversa, si un tubo es perpendicular a la goma de la ducha, todos los tubos paralelos también lo son. Se ve evidente, pero en matemáticas las cosas hay que demostrarlas, apoyarse sólo en la intuición te puede llevar a una ducha de agua fría. Foto Grace Bonney.
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En el plano, un haz de rectas es el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto. Se pueden escribir todas con la ecuación de la recta que pasa por un punto, dejando libre el valor de la pendiente. Pero si dibujáramos todas no se verían, porque pintarían el plano completo. Foto juandevillalba.
En el espacio 3D cada punto tiene 3 coordenadas (x, y, z) y todos los puntos que tienen una x fija, como (5, y, z) forman un plano vertical.
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Como los planos paralelos de ayer, tampoco son rectas perfectas, pero la hermosa foto publicada por Hein sugiere un haz de rectas paralelas en el plano infinito del mar.
Bueno, ni son infinitos ni son planos del todo, pero para eso tenemos la abstracción y la imaginación. Siendo paralelos todos tendrían el mismo vector normal y los rangos de sus ecuaciones serían 1 y 2, que es lo mismo. Pero eso es otra historia. Foto redwing1905.
Una recta en el espacio 3D tiene cualquier dirección y, en los casos especiales, puede ser perpendicular a un plano o paralela al mismo, como en esta tranquila foto de Enzo Davide.
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Cuando hacemos geometría 3D con ecuaciones todo funciona, pero no visualizamos las cosas. Por eso a veces viene bien iluminar las rectas como en la foto de viaje a Canadá.
